GRUNDLAGEN
EINER THEORIE DER PRIMZAHLFUNKTIONEN
von
Dr.phil. Dieter Schrapel
1. Teil
1 = Proximation
und Ultimation
2 = Improximation
3 = Analyse der
Proximation I
A = Anmerkungen
Primzahl werde eine natürliche Zahl P genannt, die
nicht durch eine natürliche Zahl N grösser als 1 und
kleiner als P (1<N<P) teilbar ist. Unprimzahl werde
eine natürliche Zahl U genannt, die durch eine
natürliche Zahl N grösser als 1 und kleiner als U
(1<N<U) teilbar ist.
Gegeben sei eine natürliche Zahl Z1. Sie lasse sich
zerlegen in das Produkt ihrer beliebig auch gleichen
Primfaktoren Pf1,Pf2,...,Pfn : Z1 = Pf1*Pf2*...*Pfn .
Jeder der Primfaktoren Pf von Z1 werde nun aufgefasst
als Primsummand Ps (Psn = Pfn) einer Summe Z2. Diese
heisse Proxima und werde aufgefasst als Funktion der
Ausgangszahl Z1: Z2 = PROX(Z1) = Ps1+Ps2+...+Psn .
Z2 trete an die Stelle der Ausgangszahl Z1, werde also
wieder zerlegt in das Produkt ihrer Primfaktoren Qfn,
- Seite 1 -
und von diesen werde mit Qsn=Qfn wieder die
Summe gebildet :
Z2 = Qf1*Qf2*...*Qfn
Z3 = PROX(Z2) = PROX(PROX(Z1)) = PROX2(Z1) =
Qs1+Qs2+...+Qsn .
Diese Operation, die Proximation, werde so lange
wiederholt, bis sie auf der Stufe
PROXn(Z1) = PROX(Zn) = Zn zu einem Endwert führt.
Für alle Z1>1 mit der Ausnahme von Z1=4 ist dieser
Endwert eine Primzahl.
Die Rückführung einer natürlichen Zahl Z1 durch
eine unbestimmte Anzahl von Proximationen auf eine
Primzahl heisse Ultimation und ihr Ergebnis als
Funktion der Ausgangszahl Ultima von Z1.
Die Ultimation von 510 diene als Beispiel :
- Seite 2 -
510 = 2*3*5*17
PROX(510) = 2+3+5+17 = 27
27 = 3*3*3
PROX2(510) = PROX(27) = 3+3+3 = 9
9 = 3*3
PROX3(510) = PROX(9) = 3+3 = 6
6 = 2*3
PROX4(510) = PROX(6) = 2+3 = 5
5 = 5
PROX5(510) = PROX(5) = 5
UL(510) = 5
In UL(N) = 5 erscheint die kleinste Primzahl, die sich
für eine beliebige natürliche Zahl N>4 als Ultima
ergeben kann. Unter dem Gesichtspunkt der Ultimation
können die natürlichen Zahlen N<5 daher als transzendental
bezeichnet werden. 2 und 3 sind als Primzahlen jeweils
die Proxima und damit auch die Ultima ihrer selbst.
- Seite 3 -
Die Proximation von 4 erfüllt zwar mit PROX(4)=4
die Bedingungsgleichung der Ultimation PROX(X)=X,
führt aber auf keine Primzahl. Gleichwohl stellt
die Recursion der 4 durch 2*2=2+2 in sich selbst
das Endergebnis der Proximationsfolge dar, das
daher Ultifikat genannt werde. Der allgemein durch
die Gleichung PROX(X)=X definierte Oberbegriff von
Ultima und Ultifikat heisse Terminat. Die Werte von
PROX(1) und PROX(0) ergeben sich durch analytische
Systemergänzung.
IMPROXIMATION
Gegeben sei eine natürliche Zahl A>4. Sie werde
aufgefasst als das Ergebnis einer Proximation -
A = PROX(X) - ,
so dass sich die Frage nach dem Wert des Arguments X
stellt. Die Umkehroperation der Proximation sei
Improximation genannt und ihr Ergebnis Improximat.
- Seite 4 -
Eine Lösung der Gleichung A = PROX(X) heisse
Improxima von A:
X = IMPROX(A) oder kürzer X = IMP(A).
Lediglich das Improximat von 5 hat nur eine
Improxima : IMP(5) = 6. Für jedes Argument A>5
besteht das Improximat aus einer der Mächtigkeit
nach mit A in Sprüngen zunehmenden Menge natürlicher
Zahlen, deren keine dem Improximat eines anderen
Arguments angehört :
[A<>B]
N el IMP(A) => N nel IMP(B)
M el IMP(B) => M nel IMP(A) .
Insbesondere strukturieren die fortlaufenden Improximate
der Primzahlen >4 die Unendlichkeit der natürlichen
Zahlen in eine Unendlichkeit von Bäumen oder sich
verzweigenden Strömen (FLUX<us>), deren jeder wiederum
aus einer Menge nur ihm eigener Zahlen besteht :
- Seite 5 -
FLUX(Pn) = { Pn U IMP(Pn) U IMP(IMP(Pn))... }
FLUX(Pn) = { Pn U IMP(Pn) U IMP2(Pn) U...U IMPw(Pn) }
[n<>m]
N el FLUX(Pn) => N nel FLUX(Pm)
M el FLUX(Pm) => M nel FLUX(Pn) .
Als Beispiel eines Improximats diene das von 13 :
IMP(13) = { 22, 56, 63, 75, 80, 90, 96, 108 } .
Das Improximat einer natürlichen Zahl kann aufgesucht
werden über seine Matrix aus Primfaktorenpotenzen. Die
an der Summation zur Proxima beteiligten Primfaktoren
liegen notwendig zwischen 2 und der grössten Primzahl,
die um mindestens 2 kleiner ist als das Argument :
A-1 > P > 1 . Im Falle von IMP(13) kommen also nur
11, 7, 5, 3, 2
als Grundzahlen der Primfaktorenpotenzen einer Improxima
von 13 in Betracht.
- Seite 6 -
a |
b |
c |
d |
e |
für |
|
11^a |
*7^b |
*5^c |
*3^d |
*2^e |
||
11 |
7 |
5 |
3 |
2 |
||
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
= |
22 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
= |
63 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
= |
56 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0 |
= |
75 |
0 |
0 |
1 |
2 |
1 |
= |
90 |
0 |
0 |
1 |
0 |
4 |
= |
80 |
0 |
0 |
0 |
3 |
2 |
= |
108 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5 |
= |
96 |
- Seite 7 -
Im Bereich der natürlichen Zahlen bis zur grössten
Improxima eines Improximats, der Maxima, kommen nun
Zahlen vor, die zwar nicht dem Improximat angehören,
aber auch nicht bloss dem gleichen Flux angehören,
sondern mittels Proximation über ein Element des
Improximats auf dessen Quelle führen. Es liegt daher
nahe, das Improximat mit diesen Zahlen zu einer
grösseren Menge zu erweitern, die GRAL genannt werde.
Im Falle des Improximats von 13, dessen Maxima 13 ist,
kommen so die Zahlen 57, 85 und 102 hinzu :
GRAL(13) = { 22,56,57,63,75,80,85,90,96,102,108 } .
Die Maxima eines Improximats ist immer gegeben durch die
Improxima, in der die höchste Potenz des Primfaktors 3
vorkommt, wie sofort durch einfache Ungleichungen über
die drei in der Matrix möglichen Improximaformen mit der
höchsten Potenz von 3 (3^n, 2*3^n, 4*3^n) einzusehen ist.
- Seite 8 -
ANALYSE der PROXIMATION
Vorgegeben sei eine natürliche Zahl C. Sie lasse sich
einerseits zerlegen in das Produkt ihrer Primfaktoren
Pf und andererseits in das Produkt zweier kleinerer,
primfaktorzerlegter natürlicher Zahlen A und B:
C = Pf1 * ... * Pfn * Pfn+1 * ... * Pfm,
A = Pf1 * ... * Pfn , B = Pfn+1 * ... * Pfm,
C = A * B .
Von C, A und B werde jeweils die Proxima aufgesucht :
PROX(C) = Pf1 + ... + Pfn + Pfn+1 + ... + Pfm
PROX(A) = Pf1 + ... + Pfn , PROX(B) = Pfn+1 + ... + Pfm,
woraus sich ergibt:
PROX(C) = PROX(A) + PROX(B)
oder die Grundformel der Proximation
PROX(A*B) = PROX(A) + PROX(B) .
- Seite 9 -
Aus der Grundformel lässt sich die Aussage, dass
eine Primzahl die Proxima ihrer selbst ist,
analytisch bestätigen. Seien Pf1,...,Pfm,Pfn die
Primfaktoren einer natürlichen Zahl Z :
Z = Pf1 * ... * Pfm * Pfn oder anders assoziiert
Z = (Pf1 * ... * Pfm) * Pfn . Dann ist einerseits
[a] PROX(Z) = Pf1 + ... + Pfm + Pfn und andererseits
[b] PROX(Z) = PROX(Pf1 * ... * Pfm) + PROX(Pfn) oder
[c] PROX(Z) = Pf1 + ... + Pfm + PROX(Pfn) und durch
Vergleich von [a] und [c] : PROX(Pfn) = Pfn .
Durch ihre Grundformel ist die Operation der Proximation
strukturell verwandt mit der Operation der Logarithmierung
( LOG(A*B) = LOG(A) + LOG(B) ). Dieser entsprechend folgen
durch Umformung die im Zahlbereich der Vorgabe definierten
Formeln
PROX(C/A) = PROX(C) - PROX(A)
und
PROX(A^b) = b * PROX(A) .
- Seite 10 -
Zur Systemergänzung werde im nächsten Schritt die
Geltung der Grundformel für alle ganzen Zahlen >0
gefordert und damit der Wert von PROX(1) bestimmt :
PROX(1) = PROX(1*1) = PROX(1) + PROX(1) = 2*PROX(1)
2*PROX(1) - PROX(1) = 0
PROX(1) = 0 .
Die Proximationen von 1 über 1^n oder von N=N*1 mit
n und N als natürlichen Zahlen bestätigen durch
Schlussfolgerung oder durch einfache Rechnung -
in Entsprechung zu LOG(1)=0 - das Ergebnis, das
konsistent ist mit dem Ausschluss der Zahl 1 als
einer Primzahl.
Im Gegensatz zu den Primzahlen,
die jeweils die Proxima ihrer
selbst sind, führt 1 nicht
auf sich selbst als Proxima.
- Seite 11 -
Die Anwendung der Grundformel zur Proximation von 0
führt entweder zum Widerspruch oder zur Einschränkung
des in der Formel zulässigen Wertebereichs, solange
die Multiplikation von 0 nicht für sinnlos gehalten
wird. Die für eine natürliche Zahl N > 0 als wahr
unterstellte Aussage N * 0 = 0 geht durch
Anwendung der Proximationsformel über in die unwahre
Aussage PROX(N) + PROX(0) = PROX(0)
oder PROX(N) = 0 , was der Vorgabe
etwa wegen PROX(10) <> 0 widerspricht.
Ein Versagen der Proximationsformel beim Nullprodukt
liegt jedoch genau so wenig vor wie ein Versagen der
Logarithmierungsformel beim Nullprodukt. Die algebraisch
verwendbare Aussage [N*0=0] ist existentiell sinnlos.
Nur etwas, und sei es noch so klein, lässt sich
vervielfachen, nicht jedoch nichts.
Wo aber nichts ist, da kann auch nichts proximiert
oder logarithmiert werden.
- Seite 12 -
Daher ist auch nichts daran auszusetzen, dass die
existentiell sinnlose und damit falsche Aussage N*0=0
durch Proximation zu einer weiteren falschen Aussage
führt.
Unter Erweiterung des Geltungsbereichs der Grundformel
durch die Brüche M/N mit natürlichen M und N für das
Argument einer Proximation auf den Bereich der positiven
rationalen Zahlen lehrt eine Grenzwertbetrachtung, dass
- in Entsprechung zu LOG(0) = - INF -
PROX(0) = - INF ist. Es sei Pn
die n-te Primzahl in der wachsenden Folge der Primzahlen.
Dann ist
[n -> INF]
lim(1/Pn) = 0 , lim(Pn) = INF
PROX(1/Pn) = PROX(1) - PROX(Pn)
PROX(1/Pn) = 0 - Pn = -Pn
lim(PROX(1/Pn) = - lim(Pn)
PROX(0) = - INF .
- Seite 13 -
Dem entsprechend führt die Proximation eines rationalen
Bruches 0<M/N<1 zu einem Ergebnis im Bereich der ganzen
negativen Zahlen : PROX(M/N) el -G . Mit den rationalen
Brüchen M/N>1 und PROX(M/N) el +G ergibt sich die
Möglichkeit einer Proxima unterhalb der für den
Geltungsbereich der natürlichen Zahlen festgestellten
Transzendentalgrenze 5. So gilt zum Beispiel für alle
Brüche aus Primzahlzwillingen (P+2)/P PROX((P+2)/P)=2,
aber auch etwa PROX(9/4)=2, PROX(12/5)=2 und so weiter.
Gesuchte Werte von M oder N bei Vorgabe der Proxima
können leicht über die Gleichung des Improximats
ermittelt werden, etwa
PROX(13/X) = 7 , X = IMP(6) = { 8, 9 } oder
PROX(X/7) = 3 , X = IMP(10) = { 21, 25, 30, 32, 36 } .
Die operationelle Ausweitung der Proximation über den
Bereich der natürlichen Zahlen hinaus führt zu neuen
Konglomeraten, aber auch zu der Frage, was denn unter
der Proxima einer negativen Zahl zu verstehen ist.
- Seite 14 ENDE Teil 1 -
GRUNDLAGEN
EINER THEORIE DER PRIMZAHLFUNKTIONEN
von
Dr.phil. Dieter Schrapel
2. Teil
4 =
Analyse der Proximation II
5 = Exaltation
und Superation
6 = Zusammengesetzte
Primzahlfunktionen
7 = Eigenschaften
des Terminats
A = Anmerkungen
Das Scheinergebnis der in Anmerkung
B3) durchgeführten
Quasiproximation von -1 ist deshalb falsch, weil es wie
die Quasiproximation von 0 mit ihrer algebraisch zwar
verwendbaren, aber existentiell unwahren Vervielfachung
von nichts eine algebraisch verwendbare, aber existentiell
unwahre Operation impliziert, nämlich mit [ 0 / 2 = 0 ]
die Teilung von nichts.
Nur etwas kann geteilt werden, nicht aber nichts.
Dem gegenüber kann aus der festgestellten Übereinstimmung
der Proximation mit der Logarithmierung in den Knotenwerten
1 und 0 ( PROX(1) = LOG(1) = 0, PROX(0) = LOG(0) = -INF )
die Existenz eines Knotenwerts für -1 vermutet werden :
PROX(-1) = LOG(-1) = pi*i etc ,
und damit entschwindet die Proximation einer negativen
Zahl entweder aus dem Bereich der reellen Zahlen in Folgen
komplexer Mehrwerte oder sie endet bei der negativen Zahl,
falls die Vermutung falsch ist.
- Seite 15 -
X*X = 2 [X=2^(1/2)] |
|
X*X*X = 3 [X=3^(1/3)] |
PROX(X) + PROX(X) = 2 |
|
PROX(X) + PROX(X) + PROX(X) = 3 |
2*PROX(X) = 2 |
|
3*PROX(X) = 3 |
PROX(X) = 1 |
|
PROX(X) = 1 |
- Seite 16 -
und allgemein X * X * X * ... * X = P [X=P^(1/P)]
PROX(X) + PROX(X) + PROX(X) + ... + PROX(X) = P
P * PROX(X) = P
PROX(X) = 1 .
Dem Improximat von 1 - IMP(1) - gehören aber auch
etwa 6^(1/5) oder 10^(1/7) an, also allgemein alle
Zahlen der Form A^(1/PROX(A)) .
EXALTATION und SUPERATION
Die fortgesetzte Proximation einer natürlichen Zahl >4,
die Ultimation, ist ein Verfahren zur Konstruktion einer
Primzahl kleiner oder gleich der Ausgangszahl aus den
Eigenschaften der Ausgangszahl. Gesucht werde ein
entsprechendes Verfahren, das aus den Eigenschaften der
Ausgangszahl eine Primzahl konstruiert, die grösser oder
gleich der Ausgangszahl ist, oder mit anderen Worten ein
Verfahren, das in der Ausgangszahl endet, sofern es sich
- Seite 17 -
bei dieser um eine Primzahl handelt, sonst aber
wie im Falle der Ultimation erst durch eine der
Wiederholungsanzahl nach unbestimmte Operation
eine Primzahl erzeugt.
1. Verfahren :
Sofern die Ausgangszahl Z1 keine Primzahl ist,
werde ihr die Truncus genannte Untersumme von
Proxima, Subproxima und so weiter bis einschliesslich
der Ultima zur Alterior genannten Summe hinzugefügt :
ALT(Z1)=Z1+PROX(Z1)+PROX2(Z1)+...+PROXm(Z1)+UL(Z1),
wobei unter PROXm(Z1) die letzte Unprimzahl vor der
Ultima verstanden wird. Solange die Alterior nicht prim
ist, wird diese Operation, die Exaltation, fortgesetzt.
An die Stelle von Z1 tritt Z2=ALT(Z1) und so weiter :
ALT2(Z1)=ALT(Z2)=Z2+PROX(Z2)+PROX2(Z2)+...+PROXm(Z2)+UL(Z2).
- Seite 18 -
Die erzeugte Primzahl heisse Extrema :
EX(Z1) = ALTn(Z1) = PROX(ALTn(Z1)) .
Ist die Ausgangszahl eine Primzahl, so ist sie die
Alterior und Extrema ihrer selbst.
2. Verfahren :
Sofern die Ausgangszahl keine Primzahl ist, werde ihr
nur ihre Ultima zur Superior genannten Summe hinzugefügt :
SUP(Z1) = Z1 + UL(Z1) .
Solange die Superior nicht prim ist, wird diese Operation,
die Superation, fortgesetzt. An die Stelle von von Z1
tritt Z2 = SUP(Z1) :
SUP2(Z1) = SUP(Z2) = Z2 + UL(Z2) .
Die erzeugte Primzahl heisse Suprema :
SPA(Z1) = SUPn(Z1) = PROX(SUPn(Z1)) .
Ist die Ausgangszahl Z1 eine Primzahl, so ist sie die
Superior und Suprema ihrer selbst.
- Seite 19 -
ZUSAMMENGESETZTE PRIMZAHLFUNKTIONEN
A) NUCLEUSFUNKTION
Gegeben sei eine natürliche Zahl Z1>4. Von ihrer
Extrema und Ultima werde die Summe gebildet und
diese werde durch 2 geteilt. Das Ergebnis muss eine
natürliche Zahl >4 sein. Die Operation werde Indensation
genannt und ihr Ergebnis Indensat von Z1 :
IND(Z1) = ( EX(Z1) + UL(Z1) ) / 2 .
Das Indensat einer Primzahl ist diese selbst. Mit
Z2 = IND(Z1)
IND(Z2) = IND2(Z1) = ( EX(Z2) + UL(Z2) ) / 2
IND(Zn) = INDn(Z1) = ( EX(Zn) + UL(Zn) ) / 2
werde die Indensation so lange wiederholt, bis ein
- Seite 20 -
nicht überschreitbares Endergebnis, das Nucleus
(NCS) genannte Terminat, erreicht ist. Das
Terminat besteht entweder in einer Primzahl P
NCS(Z1) = IND(Zn) = PROX(IND(Zn))
oder in einer dem Durchlaufungssinne nach festgelegten
Menge von Unprimzahlen U
NCS(Z1) = ->[ U1, U2, ... , Un ]-> ,
wobei die Recursion bei Un wieder in U1 übergeht.
Die für Z1<4054 festgestellten Recursionen sind :
NCS(25) = ->[ 34, 36, 30, 27, 26, 42 ]->
NCS(26) = ->[ 42, 34, 36, 30, 27, 26 ]->
NCS(27) = ->[ 26, 42, 34, 36, 30, 27 ]->
NCS(30) = ->[ 27, 26, 42, 34, 36, 30 ]->
NCS(33) = ->[ 36, 30, 27, 26, 42, 34 ]->
NCS(34) = ->[ 36, 30, 27, 26, 42, 34 ]->
NCS(36) = ->[ 30, 27, 26, 42, 34, 36 ]->
NCS(42) = ->[ 34, 36, 30, 27, 26, 42 ]->
NCS(100) = ->[ 134 ]->
NCS(134) = ->[ 134 ]-> .
- Seite 21 -
Im untersuchten Intervall hat die Nucleusfunktion
also nur zwei Recursionen, die sechsgliedrige mit
dem Summenwert 195 und die eingliedrige mit dem
Wert 134. Für alle anderen X<4054 ist NCS(X) prim.
B) NUCLEAFUNKTION
Gegeben sei eine natürliche Zahl Z1>4. Von ihrer
Extrema und Ultima werde die Differenz gebildet und
diese werde durch 2 geteilt. Die Operation, die für
eine Primzahl als Ausgangszahl auf 0/2 führt und sonst
auf eine natürliche Zahl führen muss, heisse
Subdensation und ihr Ergebnis Subdensat von Z1 :
SUB(Z1) = (EX(Z1) - UL(Z1)) / 2.
Mit Z2 = SUB(Z1)
SUB(Z2) = SUB2(Z1) = (EX(Z2) - UL(Z2)) / 2
SUB(Zn) = SUBn(Z1) = (EX(Zn) - UL(Zn)) / 2
- Seite 22 -
werde die Subdensation so lange wiederholt, bis sie
auf eine Primzahl P
NCA(Z1) = SUB(Zn) = PROX(SUB(Zn))
führt oder in einer dem Durchlaufungssinne nach
festgelegten Menge von Unprimzahlen U
NCA(Z1) = ->[ U1, U2, ... , Un ]->
endet, wobei die Recursion bei Un wieder in U1 übergeht.
Die Nucleafunktion enthält ein- und mehrgliedrige
Recursionen, unter denen die viergliedrige Recursion
->[ 697, 476, 694, 525 ]-> , in die zahlreiche Folgen
hineinführen, besonders auffällig ist. Mit dem Wert 3
- etwa NCA(12)=3 - wird die Transzendentalgrenze 5 der
Ultimation unterschritten.
C) NUCLINUSFUNKTION
Gegeben sei eine natürliche Zahl Z1>4. Von ihrer Suprema
und Ultima werde die Summe gebildet und diese werde
- Seite 23 -
durch 2 geteilt. Das Ergebnis muss eine natürliche
Zahl >4 sein. Die Operation werde Adbination genannt
und ihr Ergebnis Adbinat von Z1 :
ADB(Z1) = (SPA(Z1) + UL(Z1)) / 2 .
Das Adbinat einer Primzahl ist diese selbst. Mit
Z2 = ADB(Z1)
ADB(Z2) = ADB2(Z1) = (SPA(Z2) + UL(Z2)) / 2
ADB(Zn) = ADBn(Z1) = (SPA(Zn) + UL(Zn)) / 2
werde die Operation so lange wiederholt, bis ein nicht
überschreitbares Endergebnis, das Nuclinus (NNS) genannte
Terminat, erreicht ist. Das Terminat besteht entweder in
einer Primzahl P
NNS(Z1) = ADB(Zn) = PROX(ADB(Zn))
oder in einer dem Durchlaufungssinne nach festgelegten
Menge von Unprimzahlen U
NNS(Z1) = ->[ U1, U2, ... , Un ]-> ,
wobei die Recursion bei Un wieder in U1 übergeht.
Kennzeichnend für die Nuclinusfunktion ist die häufig
auftretende zweigliedrige Recursion ->[ 69, 42 ]-> .
- Seite 24 -
D) NUCLINAFUNKTION
Gegeben sei eine natürliche Zahl >4. Von ihrer Suprema
und Ultima werde die Differenz gebildet und diese werde
durch 2 geteilt. Die Operation, die für eine Primzahl als
Ausgangszahl auf 0/2 führt und sonst auf eine natürliche
Zahl führen muss, werde Disbination genannt und ihr
Ergebnis Disbinat von Z1 :
DIS(Z1) = (SPA(Z1) - UL(Z1)) / 2 . Mit
Z2 = DIS(Z1)
DIS(Z2) = DIS2(Z1) = (SPA(Z2) - UL(Z2)) / 2
DIS(Zn) = DISn(Z1) = (SPA(Zn) - UL(Zn)) / 2
werde die Operation so lange wiederholt, bis sie auf
eine Primzahl P
NNA(Z1) = DIS(Zn) = PROX(DIS(Zn))
führt oder in einer dem Durchlaufungssinne nach festgelegten
Recursion einer Menge von Unprimzahlen U
NNA(Z1) = ->[ U1, U2, ... , Un ]->
endet, wobei die Recursion bei Un wieder in U1 übergeht.
- Seite 25 -
Kennzeichnend für die Nuclinafunktion sind das
Unterschreiten der Transzendentalgrenze 5 der
Ultimation mit NNA(3*2^n) = 3 (für 0<n<9) nebst
externen Anschlüssen und die häufig auftretende
eingliedrige Recursion ->[ 63 ]-> . Im Argument
8 hat die Funktion eine Lücke.
EIGENSCHAFTEN des TERMINATS
Notwendigerweise stellt die Termination entweder in
einer Primzahl oder in einer Recursion eine allgemeine
Eigenschaft aller Primzahlfunktionen dar, da es eine
andere Möglichkeit der Termination nicht gibt. Wäre
das Terminat keine Primzahl, dann bestünde es in einer
Recursion. Bestünde es nicht in einer Recursion, dann
wäre es eine Primzahl, da jede Unprimzahl, die nicht
durch die Funktion in sich zurückkehrt, als Terminat
ausgeschlossen ist. In einem Argument ohne Terminat
ist die Funktion für unterminierbar zu erklären.
- Seite 26 -
Wird unter W(Rc[NCS]) (Wert der Recursion von NCS)
die Summe der Elemente einer Recursion der
Nucleusfunktion verstanden, unter W(RcEX[NCS]) die
zugehörige Extremasumme und unter W(RcUL[NCS]) die
zugehörige Ultimasumme, dann geht das Bildungsgesetz
der Funktion auf die Summen der Recursion über, wie
die Zusammenfassung gleichartiger Funktionssummanden
lehrt. Dies gilt entsprechend für die NCA-, NNS- und
NNA-Funktionen und führt zu :
W(Rc[NCS]) = (W(RcEX[NCS]) + W(RcUL[NCS])) / 2
W(Rc[NCA]) = (W(RcEX[NCA]) - W(RcUL[NCA])) / 2
W(Rc[NNS]) = (W(RcSPA[NNS]) + W(RcUL[NNS])) / 2
W(Rc[NNA]) = (W(RcSPA[NNA]) - W(RcUL[NNA])) / 2 .
Wird unter dem Totalwert T(Rc[N..]) einer Recursion
die Summe ihrer Elemente, der zugehörigen Ultima-Werte
und der zugehörigen Extrema- oder Suprema-Werte
verstanden, gilt also :
- Seite 27 -
|
53 |
53 |
47 |
47 |
79 |
61 |
|
NCS(25)=->[ |
34, |
36, |
30, |
27, |
26, |
42 |
]-> |
|
19 |
7 |
7 |
5 |
5 |
7 |
W(RcEX[NCS(25)]) = 340
W(RcNCS(25)) = 195 = (340 + 50) / 2
W(RcUL[NCS(25)]) = 50
T(Rc[NCS(25)]) = 585 .
- Seite 28 ENDE Teil 2 -
Anmerkungen und Anhang
zu web585.com
von
Dr.phil. Dieter Schrapel
A = Anmerkungen
zu den Programmen
B = Anmerkungen
zur Theorie
Vorbemerkung
Begriffserklärungen zu Proximation, Ultimation, Improximation,
Gral, Exaltation, Alterior, Extrema, Superation, Superior und
Suprema sind unter Taste V(v) und Taste W(w) im Rahmen der
Theorie zugänglich. Dort sind auch die Nucleusfunktion, die
Nucleafunktion, die Nuclinusfunktion und die Nuclinafunktion
definiert.
A) Anmerkungen zu den Programmen
A1) Taste U(u) ruft die Berechnung der Ultima einer natürli-
chen Zahl mit Ausgabe der Proximationsfolge auf.
A2) Taste I(i) ruft die Berechnung des Improximats einer als
dessen Quelle bezeichneten natürlichen Zahl auf. Die Ausgabe
aller Glieder des Improximats bis zur Quelle 50 folgt der
Primpotenzmatrix,
deren Darstellung hier durch Taste X(x)
bis zur Quelle 53 aufgerufen werden kann.
- Seite A1 -
Die Matricale des Improximats einer geraden Zahl mit nur
zwei Exponenten =1 und allen anderen =0 stellt den
Sonderfall der Goldbachzerlegung dar.
Ab 51 führt das Menueprogramm nur Mächtigkeitsberechnungen
aus. Unter M(IMP) ist die Mächtigkeit des Improximats zu
verstehen, unter M(IMP+) die Mächtigkeit des Improximats
einschliesslich seiner Quelle, unter W(IMP), Wert des
Improximats, die Summe seiner Glieder, unter W(IMP+) die
um die Quelle vermehrte Gliedersumme. Unter UL(W(IMP)) und
UL(W(IMP+)) wird die jeweils mitberechnete Ultima angegeben.
A3) Taste G(g) ruft die Berechnung des Grals der gleichen
Quelle eines Improximats auf. Die Ausgabe folgt der Reihen-
folge der natürlichen Zahlen bis zur Maxima des Improximats.
Die für das Improximat gewählten Mächtigkeits- und Wertbe-
zeichnungen gelten entsprechend.
A4) Taste E(e) ruft die Berechnung der Extrema einer natür-
lichen Zahl mit Ausgabe der Exaltationsfolge auf.
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A5) Taste R(r) ruft die Berechnung der Extrema für
die Auswahl eines Intervalls der natürlichen Zahlen auf.
A6) Taste F(f) ruft die Berechnung aller Unprimzahlen
auf, die einer Extrema ohne Unterscheidung der Stufe
ihrer Herleitung zu Grunde liegen können und die deshalb
Grundlinge heissen sowie in ihrer Gesamtheit Fundus.
Die dem Gral einer Primzahl reziprok ähnelnde Fundusmenge
samt der Extrema wird Corpus genannt. Mit FD(P) wird die
Fundusmenge einer Primzahl P bezeichnet, mit CP(P) ihre
Corpusmenge, mit WFD(P), Wert des Fundus von P, die Summe
der Grundlinge, mit WCP(P), Wert des Corpus von P, die um
die Extrema vermehrte Summe der Grundlinge. Hinzugefügt
ist die Berechnung der jeweiligen Ultima.
Die für die Extrema feststellbare abgeschlossene Struktur
eines Fundus besteht entsprechend für die Suprema, deren
Grundlinge ebenfalls nur kleiner sein können als diese
selbst.
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A7) Taste S(s) stellt für den Extremabereich <1000 ein
Programm zur Feststellung einer vorgegebenen gleichen
Fundusstruktur bereit. Nach Eingabe der Grenze und der
Anzahl der Grundlinge werden die Primzahlen kleiner oder
oder gleich der Grenze auf ihre Fundusmächtigkeit unter-
sucht und mit Angabe ihrer Fundus- und Corpuswerte
ausgegeben.
B) Anmerkungen zur Theorie
ZWISCHENBEMERKUNG
Die Ausweitung des Poximations- und Improximationskalküls
aus dem Bereich der natürlichen Zahlen >3 hinaus ist für
die im Hauptbereich der natürlichen Zahlen >4 operierenden
Primzahlfunktionen von web585.com nicht erforderlich. Die
aus dem Motiv der Systemergänzung vorgenommene Ausweitung
ist gleichwohl über die esoterische Symbolik ebenfalls dazu
benutzt worden, kosmologische Sachverhalte zu überliefern.
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B1) Zur Definition der Primzahl: Die Erfassung der Primzahl
beruht auf zwei sich ergänzenden reziproken Anschauungen.
Ausgehend von einem Ganzen ist festzustellen, dass die
erste überhaupt mögliche Teilung diejenige in zwei Teile
ist und dass eine letzte mögliche Teilung dem Fortschreiten
der Vorstellung widerspricht, welches also die Teilbarkeit
in unendlich viele Teile verlangt. Das Ganze kommt in
dieser Anschauung der Teilung nur als Voraussetzung vor,
nicht aber als Teil, weshalb etwa das sprachverhunzende
'Einteilige' sogenannter Modeschöpfer nichts anderes ist
als ein oppositioneller Witz. Die zweite Anschauung ist
diejenige der Zusammenfassung der als Teile aufgefassten
Elemente einer Menge zu einem Ganzen. Wiederum erfordert
aber die Operation der Zusammenfassung mindestens zwei
Teile, sie ist nicht ausführbar beim Vorhandensein nur
eines Elements.
Die Operationen der Teilung und der Zusammenfassung
sind mithin gemeinschaftlich auf die 2 als Mindestmass
gegründet.
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Solange daher die Betrachtung auf den Bereich der
natürlichen Zahlen beschränkt wird, ist es sinnlos,
von einer Teilung durch 1 oder einer Zahl durch sich
selbst zu reden. Die algebraische Verwendbarkeit der
Formel N/N=1 beruht auf der Zulassung gebrocher Zahlen
und den Grenzwerten [N->INF] lim((N+1)/N)=lim(N/(N+1))=1.
Ferner verleitet, wobei die Unterscheidung von Kardinalzahl
und Ordinalzahl belanglos ist, die enge Verbindung der Zahl
mit einem Gezählten beliebiger Eigenschaft zur Kontamination
derart, dass die Zahl mit dem Vervielfachten der Masseinheit
gleichgesetzt wird. Dies wiederum kann dazu führen, in der
Einheit einen Teiler der Zahl zu sehen. So lautet denn
Euklids geometrisch orientierte Definition der Primzahl :
'Primzahl ist eine Zahl, die sich nur durch die Einheit
messen lässt.'
In dieser Definition ist indessen die Zahl als Teiler ihrer
selbst ebenso ausgeschlossen wie in den pythagoräischen
Begriffen der vollkommenen und befreundeten Zahlen.
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Die übliche, positiv anmutende Definition einer Primzahl
als einer Zahl, die 'nur durch 1 und sich selbst teilbar'
sei, wobei der per Definition Belehrte manchmal auch noch
wegen des Ausschlusses der 1 als eines Primfaktors dahin-
gehend belehrt wird, das müsse so gemacht werden, weil
sonst die kanonische Zerlegung einer natürlichen Zahl
nicht eindeutig wäre, ist in Wahrheit logisch negativ.
Nicht die belanglose, angebliche Teilbarkeit der Primzahl
'durch 1 und sich selbst' macht das Wesen der Primzahl
aus, sondern ihre Nichtteilbarkeit durch alle anderen
natürlichen Zahlen. Dem versucht die der Theorie
vorangestellte Definition auf einfachste Weise gerecht
zu werden. Natürlich könnte die Primzahl auch gleich
definiert werden als eine natürliche Zahl P, die nicht
teilbar ist durch eine natürliche Zahl N mit
1 < N < 1 + SQR(P) [ 1 < N < 1 + P^(1/2) ] .
Der Vorrang der Primzahlen im System der natürlichen
Zahlen hat zur Folge, dass alle anderen natürlichen
Zahlen >1 als Unprimzahlen definiert sind.
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B2) Quasiproximation von 0 : Die allgemein zum
Widerspruch führende Formalproximation des Nullprodukts
N * 0 = 0 lässt dann keinen Widerspruch entstehen, wenn
für N nur die Werte 1 und 0 zugelassen werden. Insbesondere
könnte dem Produkt 0 * 0 ein Sinn zugewiesen werden durch
die Gleichung X * X = X + X , deren Lösungen X1=0 und X2=2
als Nullstellen der Parabelfunktion Y = X*X - 2*X aufgefasst
werden können. Die Proximation beiderseits der Gleichung
0 * 0 = 0 ergibt dann
PROX(0) + PROX(0) = PROX(0)
2*PROX(0) - PROX(0) = 0
PROX(0) = 0 .
Die Quasilösung 0 werde Maya von PROX(0) genannt.
Indessen bewährt sich die Proximation beiderseits der
Gleichung X * X = 2*X [2*X=X+X] und erweist damit nur
das Nullprodukt als unzulässig :
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X * X = 2 * X
PROX(X) + PROX(X) = PROX(2) + PROX(X)
PROX(X) = 2
X = IMP(2)
X = 2 .
Die Gleichung hat nur diese eine Lösung, die auf der
analytisch bestätigten Feststellung beruht, dass eine
Primzahl die Proxima ihrer selbst und daher umgekehrt
auch Improxima von sich selbst ist.
B3) Quasiproximation von -1
Die Frage, was unter der Proxima einer negativen Zahl zu
verstehen ist, reduziert sich durch Definition der negativen
Zahl als eines Vielfachen der negativen Einheit (-Z=Z*(-1))
auf die Frage, was denn die Proxima von -1 ist :
PROX(-Z) = PROX(Z*(-1)) = PROX(Z) + PROX(-1) .
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Die Proximation beiderseits der Gleichung
(-1) * (-1) = 1 führt zu
PROX(-1) + PROX(-1) = PROX(1)
2*PROX(-1) = 0
PROX(-1) = 0/2
PROX(-1) = 0 .
Genauso könnte aber auch logarithmiert werden, und das
Ergebnis LOG(-1) = 0 wäre genauso falsch. Das Ergebnis 0
der Quasiproximation von -1 heisse Maya von PROX(-1) und
der wahre Wert Nirvana von PROX(-1) .
* * * * * * * * * *
Alle Programme von web585.com wurden in ZBasic geschrieben
mit dem fabelhaften Compiler von Andrew R. Gariepy, Scott
Terry, David Overton, Greg Branche und Halbert Liang aus
dem Jahre 1987.
- Seite A10 -
Der oben wiedergegebene Scrolltext
ist wortgleich mit den
Ausführungen zur Theorie der Primzahlfunktionen, die ich
meinen Programmen web585.com als unmittelbar
aufrufbare Erläuterungen beigegeben habe.
Ihrerseits verdeutlichen die Programme, die in den
inhaltsgleichen Gruppen web585.com, opus50.com,
opus340.com und opus195.com einerseits sowie
opus585.com, web585.zot, opus50.zot, opus340.zot
und opus195.zot andererseits dem freien Download
zur Verfügung stehen, worum es in der Theorie
der Primzahlfunktionen geht.
Oetmannshausen, den 26. März 2001
Dr. Dieter Schrapel